Теоремы о частичных пределах.

Если $x_{n}$ сходится, то $\forall{\{x_{n_{k}}\}}$ сходится к тому же числу.

По определению: $\forall{\epsilon > 0}~~ \exists{N}~~ \forall{n>N}~~ |x_{n} - a| < \epsilon$ Возьмём $K > N$, тогда $\forall{k>K}~~ n_{k} > n_{K} > N \Rightarrow |x_{n_{k}} - a| < \epsilon~~~\square$

Пусть $\mathbb{N} = \{n_{k}^{1}\} \cup \{n_{k}^{2}\} \cup ... \cup \{n_{k}^{m}\}$, $\forall{j = \overline{1,m}}~~ \lim_{n \to \infty} x_{n_{k}^{j}} = a_{j} \Rightarrow \{x_{n}\}' = \{a_{1}, a_{2}, ..., a_{m}\}$ - множество частичных пределов.

От противного: b - частичный предел. Пусть $\forall{j = \overline{1,m}}~~ b \neq a_{j}$ и $\epsilon = min\left\{\dfrac{|b-a_{j}|}{2}\right\}>0$, тогда: $$\exists{K_{j}}~~ \forall{k>K_{j}}~~ |x_{n_{k}^{j}} - a_{j}| < \epsilon \Rightarrow \forall{n > max\{n_{k}^{1}, n_{k}^{2}, ..., n_{k}^{m}\}}~~ x_{n} \in \bigcup_{j=1}^{m} (a_{j} - \epsilon, a_{j} + \epsilon)$$ Так как $\epsilon$ таково, что эпсилон-окрестность $b$ не пересекается с окрестностями $a_{j}$, то: $\{n: x_{n} \in (b-\epsilon, b+\epsilon)\}$ - конечно $\Rightarrow$ $b$ - не частичный предел $\square$